The emergence of English Abstract Algebra. Conditions and limits of symbolism in mathematics

Abstract

Si le projet Lagrangien d’un fondement purement algébrique pour l’Analyse fut progressivement abandonné dans le Continent avec les œuvres de Gauss, de Fourier et de Cauchy, il fut autrement repris, poursuivi et renouvelé de l’autre côté de la Manche, motivant l’émergence de l’algèbre abstraite ou symbolique, à travers l’œuvre de mathématiciens comme Woodhouse, Babbage, Peacock, Gregory ou Boole. Parmi tous les aspects (mathématiques, logiques, politiques, institutionnelles, sociologiques, pédagogiques…) qui rendent ce processus riche du point de vue de l’historien et du philosophe des mathématiques, je me concentrerai sur le développement, de la part de ces mêmes mathématiciens, d’une théorie du signe mathématique en tant que « symbole », accompagnant les pratiques par lesquelles l’algèbre abstraite devait et pouvait se constituer comme telle. Une telle étude permet de révéler des conditions internes de cette pratique, à savoir que la dynamique de ce processus s’est trouvée guidée par la nécessité de surmonter la difficulté d’articuler une conception symbolique du signe mathématique avec l’utilisation difficilement contournable de signes numériques. D’une manière plus générale, il apparaîtra que l’attention donnée à la dimension sémiologique des pratiques mathématiques permet de déceler des catégories internes pour leur description, sans devoir les emprunter à d’autres disciplines ou champs du savoir (comme la logique ou les sciences cognitives). Enfin, dans la mesure où l’élaboration sémiologique des algébristes anglais se trouve à la base de l’émergence d’une logique mathématisée avec l’œuvre de Boole, son étude permet de suggérer un autre sens pour la logique formelle dans le cadre de la philosophie des mathématiques : non pas discours régulateur artificiel et externe, mais résultat et témoin d’une réflexion des mathématiciens sur les conditions sémiologiques de leurs propres pratiques.