Multiskalenanalyse in Mannigfaltigkeiten

Abstract

In diesem Vortrag wird das folgende Problem diskutiert: Gegeben sind Daten mit Werten in einer Mannigfaltigkeit (man denke etwa an Positionen eines starren Kör\-pers, oder Diffusionstensor-MR-Bilder, die eine Abbildung Z2GLnOn, also in den symmetrischen Raum der symmetrischen positiv definiten Matrizen, repräsentieren). Wie kann man in einem solchen Fall Approximationstheorie betreiben? Klarerweise versagen sämtliche lineare Methoden, da diese fundamental auf dem Konzept des topologischen Vektorraums basieren. Eine solche Struktur existiert nicht für nichtlineare Daten. Einen Lösungsansatz bieten nichtlineare Unter\-teilungs\-algo\-rith\-men, welche in Mannigfaltigkeiten operieren und mit Hilfe derer man Ap\-pro\-xim\-at\-i\-ons\-pro\-zes\-se definieren kann. Es stellt sich heraus, dass bei geschickter Wahl dieser adaptierten Algorithmen sich Eigenschaften des linearen Falles auf den nichtlinearen übertragen lassen.